Persamaan Kuadrat

Dalam pelajaran matematika baik itu pada SMP maupun SMA, persamaan kuadrat merupakan salah satu materi dari banyaknya macam materi matematika lainnya. Persamaan yang satu ini, atau yang sering disebut dengan persamaan parabola adalah sebuah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi dua.

Untuk memahami persamaan kuadrat, sebenarnya tidak terlalu sulit asalkan Anda mau belajar dan terus berlatih mengerjakan contoh soal.

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat atau persamaan parabola ini adalah suatu persamaan dari variabel dimana persamaan tersebut memiliki pangkat tertinggi dua/bentuk umumnya adalah dengan a, b yang merupakan koefisien, sedangkan c adalah konstanta, dan a ≠ 0.

Macam-Macam Akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa jenis akar dari persamaan kuadrat secara umum, yaitu akar real, akar imajiner atau tidak real, dan akar rasional. Untuk dapat mengetahui berbagai akar tersebut, kita bisa menggunakan rumus D = b² – 4ac karena apabila kita sudah mengetahui D maka kita akan dapat menemukan akarnya dengan mudah.

1. Akar Real

Akal real berlainan jika diketahui nilai D > 0

Contoh:

Tentukan jenis akar dari persamaan berikut

x² + 4x + 2 = 0

Jawab

Dari persamaan x² + 4x + 2 = 0, dapat kita ketahui bahwa:

a = 1

b = 4

c = 2

Mencari nilai D

D = b² – 4ac

D = 4² – 4(1)(2)

D = 16 – 8

D = 8

Nilai D > 8 maka akarnya adalah akar real namun berbeda

Akar real sama x₁ = x₂ bila nilai D = 0

Contoh:

Buktikan jika persamaan berikut ini memiliki akar real kembar atau sama

2x² + 4x +2 = 0

Jawab

Dari persamaan 2x² + 4x +2 = 0, dapat kita ketahui bahwa:

a = 2

b = 4

c = 2

Mencari nilai D

D = b² – 4ac

D = 4² – 4(2)(2)

D = 16 – 16

D = 0

Nilai D = 0 maka akarnya adalah akar real dan kembar

2. Akar imajiner atau tidak real

Pada akar imajiner, nilai D kurang dari 0.

Contoh:

Tentukan jenis akar dari persamaan:

X² +2x + 4 = 0

Jawab

Diketahui bahwa:

a = 1

b = 2

c = 4

Mencari nilai D

D = b² – 4ac

D = 2² – 4(1)(4)

D = 4 – 16

D = -12

Nilai D < 0 maka akar dari persamaan ini adalah tidak real

3. Akal rasional

Pada akar rasional, nilai D akan sama dengan nilai k²

Contoh:

Tentukan jenis akar-akar dari persamaan ini

X² + 4x + 3 = 0

Jawab

Diketahui bahwa:

a = 1

b = 4

c = 3

Mencari nilai D

D = b² – 4ac

D = 4² – 4(1)(3)

D = 16 – 12

D = 4

Dimana nilai k² = 2² = 4

Nilai D = k²maka akar dari persamaan ini adalah jenis akar rasional

Mencari Akar Persamaan Kuadrat

Untuk mencari akar dan menyelesaikan persamaan kuadrat, ada 3 metode atau 3 cara yang dapat digunakan.

Ketiga cara tersebut di antara lain adalah faktorisasi, kuadrat sempurna, dan juga rumus abc. Berikut kami jelaskan masing-masing metode untuk mencari akar tersebut.

Faktorisasi

Faktorisasi atau kata lainnya merupakan pemfaktoran adalah suatu cara atau suatu metode yang digunakan dalam mencari akar persamaan kuadrat melalui pencarian nilai dimana jika nilai tersebut dikalikan akan menghasilkan nilai lain.

Ada 3 bentuk persamaan kuadrat yang memiliki faktorisasi akar yang berbeda, di antara lainnya adalah:

Agar anda dapat lebih memahami uraian mengenai faktorisasi di atas, berikut contoh persoalan yang kami siapkan

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan metode faktorisasi

5x² + 13x + 6 = 0

Jawab

5x² + 13x + 6 = 0

5x² + 10x + 3x +  6 = 0

5x(x+2) + 3(x + 2) = 0

(5x + 3)(x + 2) = 0

5x = -3

Sehingga nilai x yang didapat adalah

X = -3/5 atau nilai x = -2

Sehingga, nilai himpunan penyelesaiannya adalah = (-3/5, -2)

Kuadrat sempurna

Meskipun faktorisasi merupakan metode yang mudah sekali untuk digunakan, namun ada beberapa persamaan kuadrat yang tidak bisa dicari nilainya dengan menggunakan metode faktorisasi ini. Bentuk kuadrat sempurna bisa menjadi alternatif lain untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Baca Juga: Contoh Teks Eksposisi

Persamaan kuadrat sempurna adalah suatu bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional. Penyelesaian dari persamaan kuadrat pada umumnya menggunakan rumus:

(x = p)² = x² + 2px + p²

Kemudian persamaan tersebut diubah menjadi bentuk (x + p)² = q

(x + p)² = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Rumus abc

Rumus abc bisa digunakan dalam menyelesaikan dan mencari akar-akar persamaan kuadrat, selain menggunakan metode faktorisasi dan juga dengan melengkapi kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat diselesaikan dengan menggunakan rumus abc yang seperti berikut:

Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Bentuk Umum dari persamaan kuadrat

Tentukan nilai a, b, dan c berturut-turut jika bentuk umum dari persamaan x² – 4 = 3(x – 2) merupakan ax² + bx + c = 0

1. 1, -3, 2
2. 1, 3, -2
3. 1, -3, -10
4. 1, -2, 3

Jawab

Untuk dapat menentukan nilai dari a, b, dan c, kita sebelumnya harus merubah persamaan yang diberikan menjadi bentuk umum terlebih dahulu melalui cara:

x² – 4 = 3(x – 2)

x² – 4 = 3x – 6

x² – 4 – 3x + 6 = 0

x² – 3x +2 = 0

maka nilai a=1, b= -3, dan nilai c= 2

maka jawaban yang tepat merupakan a

2. Menentukan akar persamaan kuadrat

Jika salah satu nilai akar dari persamaan kuadrat x² + 2x + c = 0 yaitu 3, tentukan lah akar lainnya

1. x = 3
2. x = 5
3. x = -5
4. x = -15

Jawab

untuk menentukan akar lainnya, kita terlebih dahulu harus menentukan nilai c dengan cara

x² + 2x + c = 0

3² + 2(3) + c = 0

9 + 6 + c = 0

C = -15

Setelah mengetahui nilai c, kita harus mensubtitusi nilai c yang sudah kita dapatkan tersebut sehingga kemudian persamaannya menjadi

x² + 2x + c = 0

x² + 2x – 15 = 0

dengan melakukan metode faktorisasi, didapat

(x + 5)(x – 3) = 0

Maka nilai x = -5 atau x = 3